Распределения собственных значений случайных матриц и формулы связи для пятого трансцендента Пенлеве

Abstract

Формулы связи для пятого трансцендента Пенлеве применяются для вычисления детерминанта Фредгольма для ядра sin p(x-y)/ p(x-y) на конечном интервале (t,-t). Через детерминант Фредгольма, в свою очередь, выражаются функции распределения гауссовского унитарного ансамбля, возникающие в теории случайных матриц, а также корреляторы одномерной XY-модели Изинга. Асимптотики этих функций при большом t можно получить из некоторого нелинейного ОДУ второго порядка с известными начальными условиями при t=0. Преобразованием Беклунда это ОДУ приводится к пятому уравнению Пенлеве (PV), в то время как метод изомонодромных деформаций (IDM) обеспечивает явные формулы связи для решения PV. Результат обобщает известное асимптотическое разложение Ф. Дайсона для одноуровневой функции распределения на случай произвольного числа уровней.